Simplifications booléennes ultra-détaillées – MathJax
Simplifications booléennes Groupe Genius
Notation : + = OU, · (ou rien) = ET, barre = NON.
? Théorèmes utilisés
Th 1 – Éléments absorbants
$x+1=1$
$x\cdot0=0$
Th 2 – Idempotence
$x+x=x$
$x\cdot x=x$
Th 3 – Involution
$\overline{\overline x}=x$
Th 4 – Absorption
$x+x\,y=x$
$x\,(x+y)=x$
Th 5 – Simplification
$x+\overline x\,y=x+y$
$x\,(\overline x+y)=x\,y$
Th 6 – Associativité / distributivité
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x\,(y+z)=x\,y+x\,z$
Th 8 – De Morgan
$\overline{x_1+\dots+x_n}=\overline x_1\cdots\overline x_n$
$\overline{x_1\cdots x_n}=\overline x_1+\dots+\overline x_n$
1️⃣ $S_1=(A+B)(\overline A+\overline B)$
Étape 1 – distributivité (Th 6)
$$
S_1= A\,\overline A+A\,\overline B+B\,\overline A+B\,\overline B
= 0+A\,\overline B+\overline A\,B+0
= A\,\overline B+\overline A\,B
$$
$S_1 = A\,\overline B+\overline A\,B = A\oplus B$
2️⃣ $S_2=A\,B+\overline A\,\overline B+\overline A\,B$
Étape 1 – factoriser $\overline A$
$$
S_2= A\,B+\overline A\,(\overline B+B)
= A\,B+\overline A\cdot1
= A\,B+\overline A
$$
Étape 2 – Th 5 ($x=\overline A,\ y=B$)
$$
\overline A+A\,B=\overline A+B
$$
$S_2 = \overline A+B$
⚠️ Ne pas confondre avec $\overline{A\,B}=\overline A+\overline B$ (De Morgan).
3️⃣ $S_3=(A+\overline B)(A+B)+C\,(\overline A+B)$
Partie 1 : $(A+\overline B)(A+B)$
$$
= A\,A+A\,B+\overline B\,A+\overline B\,B
= A+A\,B+A\,\overline B+0
= A\,(1+B+\overline B)=A\cdot1=A
$$
Partie 2 : remise dans $S_3$
$$
S_3= A+C\,(\overline A+B)
= A+C\,\overline A+C\,B
= (A+\overline A\,C)+C\,B
= (A+C)+C\,B
= A+C
$$
(absorption $C+C\,B=C$)
$S_3 = A+C$
4️⃣ $S_4=(A+C+D)(B+C+D)$
Poser $E=C+D$.
$$
S_4=(A+E)(B+E)
= A\,B+A\,E+B\,E+E\,E
= A\,B+E\,(A+B+1)
= A\,B+E\cdot1
= A\,B+C+D
$$
$S_4 = A\,B+C+D$
5️⃣ $S_5=(A\,\overline B+A\,B+A\,C)\,(\overline A\,\overline B+A\,B+A\,\overline C)$
Première parenthèse
$$
P_1= A\,(\overline B+B+C)=A\cdot1=A
$$
Deuxième parenthèse
$$
P_2= \overline A\,\overline B+A\,(B+\overline C)
$$
Produit
$$
S_5= A\,[\overline A\,\overline B+A\,(B+\overline C)]
= A\,\overline A\,\overline B+A\,A\,(B+\overline C)
= 0+A\,(B+\overline C)
$$
$S_5 = A\,(B+\overline C)$
6️⃣ $S_6=(A+\overline B+C)(A+\overline C)(\overline A+\overline B)$
Produit des deux premiers facteurs
Poser $F=(A+\overline B+C)(A+\overline C)=A+(\overline B+C)\,\overline C
=A+\overline B\,\overline C+C\,\overline C
=A+\overline B\,\overline C$.
Multiplication par le troisième
$$
S_6= (A+\overline B\,\overline C)(\overline A+\overline B)
= A\,\overline A+A\,\overline B+\overline A\,\overline B\,\overline C+\overline B\,\overline C\,\overline B
= 0+A\,\overline B+\overline A\,\overline B\,\overline C+\overline B\,\overline C
$$
Factoriser $\overline B\,\overline C$ dans les deux derniers termes :
$$
= A\,\overline B+\overline B\,\overline C\,(\overline A+1)
= A\,\overline B+\overline B\,\overline C
= \overline B\,(A+\overline C)
$$
$S_6 = \overline B\,(A+\overline C)$
? Récapitulatif final
$$
\begin{aligned}
S_1 &= A\,\overline B+\overline A\,B = A\oplus B\\[2pt]
S_2 &= \overline A+B\\[2pt]
S_3 &= A+C\\[2pt]
S_4 &= A\,B+C+D\\[2pt]
S_5 &= A\,(B+\overline C)\\[2pt]
S_6 &= \overline B\,(A+\overline C)
\end{aligned}
$$
