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Exercices Corrigés Algèbre de Boole – Tables de Vérité, Karnaugh, Morgan

EXERCICE  ELECTRONIQUE NUMERIQUE   : Exercices Corrigés Algèbre de Boole – Tables de Vérité, Karnaugh, Morgan

 

Exercices

Exercice N° 01

Soit la fonction logique à 3 variables a, b, c définie par la table de vérité ci-dessous :

  1. Écrire la fonction S sous forme Somme des produits ?
  2. Simplifier S ?
a b c S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

Exercice N° 02

Montrer à l'aide de table de vérité :

  1. Le théorème de Morgan pour 3 variables ?
  2. La distributivité de la somme logique par rapport au produit logique ?

Exercice N° 03

I. On appliquant les propriétés de l'algèbre de Boole, montrer les fonctions suivantes :

  • (a.b + b.c + a.c) = (a+b).(b+c).(a+c)
  • (a + b + a.b)(a.b + a.c + b.c) = a.b + a.b.c

II. Simplifier les fonctions suivantes :

  • f = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd
  • S = x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z
  • f = abc + abc + abc + abc
  • T = (a+b+c).(a + b + c) + a.b + b.c
  • R = a + a.b.c + a.b.c + a.b + a.d + a.d

Exercice N° 04

Exprimer la fonction suivante sous la première et la deuxième forme canonique :

F(X,Y,Z,W) = Y.Z + W.X.Y + W.X.Z + W.X.Z

Exercice N° 05

i. Soit les tableaux de Karnaugh suivants :

CD\AB 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 1 0 1
11 1 1 0 1
10 1 0 0 0
CD\AB 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
CD\AB 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 1 0 0
11 0 0 0 1
10 1 0 0 0
  • Donnez l'expression algébrique de chaque tableau ?

ii. Soit la fonction suivante :

f(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

  • Simplifier cette fonction avec la table de Karnaugh ?

La Solution

Exercice 01

1. Somme des produits (d'après la table de vérité)

Les lignes où S = 1 sont les lignes : (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,1,0)

a b c S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c

2. Simplification algébrique

S =a.b.(c + c) + b.c.(a + a)
S =a.b.1 + b.c.1

S = a.b + b.c

Exercice 02

A. Théorème de Morgan pour 3 variables

a + b + c = a.b.c

a.b.c = a + b + c

Vérification par table de vérité :

a b c a b c a+b+c a+b+c a.b.c a.b.c a.b.c a+b+c
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

Conclusion : Les lois de MORGAN sont vérifiées pour trois variables.

B. Distributivité de la somme logique par rapport au produit logique

Soient les trois variables logiques a, b et c ; on a : a + b.c = (a+b).(a+c)

a b c a.b a+b.c a+b a+c (a+b).(a+c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

Conclusion : La somme logique est distributive par rapport au produit logique.

Exercice 03

Electronique pandacodeur 1

II. Simplification de f = abc + abc + abc + abc

f = abc + abc + abc + abc + abc + abc
f = ab(c + c) + ac(b + b) + bc(a + a)
f = ab.1 + ac.1 + bc.1

f = ab + ac + bc

II. Simplification de f = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd

f = abd(c + c) + abd(c + c) + bcd(a + a)
f = abd + abd + bcd
f = bd(a + a) + bcd
f = d(b + bc)
f = d((b+b).(b+c))
f = d(b+c)

f = bd + cd

Les autres équations avec la même méthode.

Exercice 04

F = Y.Z + W.X.Y + W.X.Z + W.X.Z

= Y.Z.(X + X).(W + W) + W.X.Y.(Z + Z) + W.X.Z.(Y + Y) + W.X.Z.(Y + Y)
= X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W
= + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W + X.Y.Z.W

= m₁ + m₁₀ + m₃ + m₉ + m₁₃ + m₆ + m₂

Exercice 05

Simplification avec table de Karnaugh :

Karnaugh pandacodeur

Tableau 1 :

CD\AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 1 0 1
11 1 1 0 1
10 1 0 0 1

f = AB + AD + BD

Tableau 2 :

CD\AB 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0

G = B

Les autres tableaux avec la même méthode.

ii. Simplification de f(A,B,C) avec Karnaugh

f(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

C\AB 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
Groupe rouge (4 cases, ligne C=0) → C
Groupe bleu (2 cases, AB=11) → A.B

F = A.B + C

 

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